向量的概念与运算
1. 向量的基本概念
(1) 向量: 同时具有大小和方向的量称为向量，记作 $overrightarrow{ab}$ , 其大小(或称模)记作 $|overrightarrow{ab}|$.
(2) 零向量: 大小为零的向量称为零向量，方向是任意的.
(3) 单位向量: 长度等于1个单位的向量称为单位向量.
(4) 平行向量(共线向量): 方向相同或相反的向量称为平行向量，也称为共线向量. 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上. 规定: 零向量与任一向量平行.
(5) 相等向量: 长度相等且方向相同的向量称为相等向量.
(6) 相反向量: 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量. 规定零向量的相反向量仍是零向量.
2. 向量的加减法运算
(1) 向量的加法:
定义: 求两个向量之和的运算叫做向量的加法.
法则: 三角形法则和平行四边形法则.
运算律: a b = b a ; (a b) c = a (b c).
(2) 向量的减法:
定义: 求两个向量之差的运算叫做向量的减法.
法则: 三角形法则.
3. 向量的数乘运算及其几何意义
(1) 定义及性质: 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa.
|λa| = |λ| |a|;
当 λ > 0 时，λa 与 a 方向相同；当 λ < 0 时，λa 与 a 方向相反；当 λ = 0 时，λa = 0.
(2) 运算律: 设 λ、μ ∈ r, 则:
(λμ)a = λ(μa);
(λ μ)a = λa μa;
λ(a b) = λa λb.
4. 向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 存在唯一实数 λ , 使得 b = λa.
向量平行与直线平行的区别:
向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况. 要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
平面向量的坐标表示与运算
1. 平面向量基本定理及坐标表示
(1) 平面向量基本定理:
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a = λ1e1 λ2e2.
其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2) 平面向量的正交分解:
一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a = λ1e1 λ2e2 的形式，我们称它为向量 a 关于基底 e1，e2 的分解. 当 e1，e2 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解.
(3) 平面向量的坐标表示:
对于向量 a，当它的起点移至原点时，其终点坐标 (x, y) 称为向量 a 的坐标，记作 a = (x, y).
2. 平面向量的坐标运算
(1) 加法、减法、数乘运算:
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2), 则:
a b = (x1 x2, y1 y2);
a - b = (x1 - x2, y1 - y2);
λa = (λx1, λy1).
(2) 向量坐标的求法:
已知 a(x1, y1), b(x2, y2), 则 $overrightarrow{ab}$ = (x2 - x1, y2 - y1).
(3) 平面向量共线的坐标表示:
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2), 其中 b ≠ 0, 则:
a 与 b 共线 ⇔ a = λb ⇔ x1y2 - x2y1 = 0.
(4) 平面向量垂直的坐标表示:
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2), 则:
a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x1x2 y1y2 = 0.
3. 两个向量的夹角
... (后续内容)
已知两个非零向量a和b(如图所示)，作→(oa)＝a，→(ob)＝b，则∠＝(0°≤≤180°)称为向量a与b的夹角。当＝0°时，a与b重合；当＝180°时，a与b相反向；若a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b。
2．平面向量数量积
已知两个非零向量a和b，夹角为，定义数量|a||b|·cos 为向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|·cos 。
规定：零向量与任一向量的数量积为 0
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积。
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos ；
(2)非零向量a和b，a⊥b当且仅当a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特别地，a·a＝|a|²；|a|＝；
(4)cos ＝|a||b|/|a·b|；
(5)|a·b|≤|a||b|。
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(ra)·b＝(ra·b)＝a·(rb)＝r(a·b) (r为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c。
6．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此导出
(1)若a＝(x，y)，则|a|²＝x²＋y²，或|a|＝√(x²＋y²)。
(2)设(x1，y1)和(x2，y2)两点，则两点间的距离||＝|→(ab)|＝√((x2－x1)² (y2－y1)²)。
(3)设两个非零向量a和b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b当且仅当x1y2－x2y1＝0。a∥b当且仅当12－21＝0。(这里把坐标x和y看作2x1和2y1)