数学发展到20世纪，进入到了高度抽象的阶段，在几何方面，拓扑学的发展日臻成熟，人们提出了抽象拓扑空间的完整理论，并在此基础上建立了更加深刻的连续性的概念。拓扑学的核心思想就是研究几何图形在连续变形下的不变量。
先来通俗的解释一下啊，你把一个立体几何图形想象成是用橡皮泥捏成的，然后再把它揉捏变成其他的形状，但是要求不能拖动，不能拉断，也不能把分开的两块粘在一起，这个就叫做连续变形。可以想象一下，利用连续变形，你可以把一个圆球体变成一个椭球体，还可以变成一个正方体，但是你却永远无法把它变成一个游泳圈的形状，因为不允许戳动。
那么什么叫不变量呢？通俗的讲就是变形前和变形后所具有的相同的特征，比如动的个数就是一个不变量。所以拓扑学有一个很形象的名字，叫做橡皮泥上的几何学。那么又如何利用严格的数学语言来定义什么叫不戳动、不拉断也不粘合呢？这就需要使用到拓扑空间的概念了。
拓扑空间是一个高度抽象化的概念，它的本质是一个满足若干条公理的集合。1906年法国数学家弗雷歇将传统的几何空间抽象为度量空间，从而开启了对拓扑空间的研究。拓扑空间的概念过于抽象哈，那我用最形象的语言来解释一下。我们高中都学过开区间这个概念，是两端都为圆括号的一个小区间，同样可以把它推广到平面上，就是一个由虚线围成的小圆形，这样的集合称之为开集，而一个拓扑空间最形象的解释就是由很多开集拼接而成的集合。这些开集彼此之间可以叠。
比如一条直线就可以把它看成是一个拓扑空间，因为它是由无数多个开区间拼接而成的。平面也是一个拓扑空间，因为它可以看成是很多小圆形拼建而成的。著名的莫比乌斯纸袋和克莱银瓶其实都是一些特殊的拓扑空间。那么一个几何图形可以连续变化到另外一个几何图形又是什么意思呢？每一个几何图形都看成是一个拓扑空间。假设有两个拓扑空间a和b，并且a到b之间存在一个映射f，如果f满足对于拓扑空间b中的任何一个开机，它在拓扑空间中a的原向还是一个开极，那么就说f是连续的，如果a到b存在这样一个连续的映射f，那么就说a可以连续的变化到b，如果a可以连续变化到b，反过来呢，b也可以连续变化到a，那么我们就说a与b是同胚的。同胚的两个拓扑空间，我们就说他们在拓扑学的意义下是一样的。拓扑学中的连续是一种更为深刻的连续，它摆脱了感性中的那种线的连续的形象，而直接研究的是更为抽象的图形，甚至是高维图形的连续。在这个意义上，人们对连续性的认识已经远远超出了中学阶段所接触到的那种几何直观。