在我们探讨了狄利克雷函数的奇特性质后，接下来的内容将带领大家进一步发掘其他病态函数的构造方法。在之前的讨论中，我们已经了解了狄利克雷函数的三个特殊特性——在任何一点上都不连续、不可导，且在任意闭区间内不可积。欲了解更多信息，请参考以下链接：
接下来，我们将开拓思路，构造一些更为复杂和神秘的函数。让我们来了解几种独特的函数类型：
1. 仅在某一点处连续的函数
创建一种仅在一点上连续的函数是相对简单的。我们可以从狄利克雷函数出发，将其修改为在某个特定点连续，而在其他地方不连续。以下是这种函数的近似图像：
要特别注意，这个图像只是近似的，因为实际的函数图像因有理数和无理数在实数轴上密集地分布而无法完全展示。这个函数在 x=0 处是连续的，但在其他点均不连续。我们可以通过夹逼定理证明，在 x=0 处，函数值等于极限值，从而确认其在该点的连续性。
2. 仅在某一点处可导的函数
在上一节的基础上，我们可以对函数做进一步改造，使其仅在 x=0 处可导。下图展示了这种函数的近似图像：
该函数在 x=0 处可导，而在其他点不连续，因此不可导。我们可以通过计算极限来证明在 x=0 处的导数存在且为0。
3. 仅在两个特定点处连续的函数
构造一个仅在两个点连续的函数同样简单。比如，我们可以构造一个在 x=1 和 x=2 处为0，而在其他地方不为0的函数。这类函数可以通过调整狄利克雷型函数来实现。下图展示了这种函数的近似图像：
我们可以通过夹逼定理证明该函数在 x=1 和 x=2 处连续，而其他点不连续。
4. 仅在两个特定点处可导的函数
通过在仅在两个点连续的函数中引入更高阶的无穷小，我们可以构造出仅在两个点可导的函数。下图展示了这种函数的近似图像：
例如，证明该函数在 x=2 处的导数为0，方法类似于前述证明。
5. 仅在整数点处连续的函数
为了构造一个仅在整数点处连续的函数，我们可以使用如 sin(πx) 这样的函数作为基础。经过适当调整，得到下图所示的函数：
这种函数在整数点处是连续的，而其他点则不连续。
6. 仅在整数点处可导的函数
将前述函数的零点乘以更高阶的无穷小，就能构造出仅在整数点处可导的函数。如下图所示：
这个函数的构造方法与前述类似，只需对每个零点进行调整。
7. 在特定点处连续的函数
我们还可以构造一个仅在如 x=1，1/2，1/3 等点处连续的函数。一个简单的例子是利用无穷震荡函数 sin(π/x) 来构造：
这个函数图像较为复杂，因为它在接近零点时震荡频繁，但可以证明其在指定点处连续。
8. 在特定点处可导的函数
通过对上述函数进行平方操作，可以得到一个在指定点处可导的函数。下图展示了这种函数的近似图像：
尽管我们列举了多种类型的病态函数，但这仅仅是病态函数中的一部分。实际上，存在更多复杂和奇异的函数，其性质远超我们在初等函数中的理解。黎曼函数就是一个例子，我们可以在其基础上构造出更多具有特殊性质的函数。
病态函数的研究使我们对函数的理解上升到了一个全新的层次，而狄利克雷的贡献在这一进程中不可忽视。